Elektronenwellen und Beugung – Physik Vorabi 2026

Bezug zum Kerncurriculum: de-Broglie-Wellenlänge, Beugungsröhre, Graphit, Davisson-Germer

Skript 3 · Materiewellen

Elektronenwellen und Beugung

de-Broglie-Wellenlänge, Elektronenkanone, Beugungsröhre, Graphit, Davisson-Germer

Das können Sie nach diesem Skript

– die de-Broglie-Beziehung begründen und anwenden
– die Elektronenwellenlänge aus der Beschleunigungsspannung herleiten
– die Beugungsröhre von der Elektronenstrahlröhre unterscheiden
– Ringe und ihre Spannungsabhängigkeit deuten

Lernskript zur Vorbereitung auf das Vorabitur am 06.11.2026 · Gymnasium Westerstede, Niedersachsen
Grundlage: Kerncurriculum Physik (Niedersachsen 2022), Unterrichtsmaterialien www.physik.gym-wst.de, Aufgabenpool der Länder (IQB)

Inhalt

1 Die Hypothese

de Broglie 1924: Wenn Licht als Welle und als Teilchen auftritt, dann muss auch ein Elektron eine Welle haben – mit derselben Verknüpfung $𝑝 = ℎ / 𝜆$ :

𝜆 = \frac{ℎ}{𝑝} = \frac{ℎ}{𝑚 𝑣}

de Broglie übertrug die Symmetrie des Lichts auf die Materie: Wenn Licht je nach Experiment als Welle oder als Teilchen erscheint, dann sollte auch ein Elektron eine Wellenlänge haben. Die Hypothese ist nicht aus der klassischen Mechanik ableitbar; sie wird durch Beugungs- und Interferenzversuche geprüft.

Merksatz

Je größer der Impuls, desto kürzer die Welle. Für makroskopische Körper ist $𝜆$ so winzig, dass keine Beugung beobachtbar ist (ein 1-g-Körper bei 1 m/s: $𝜆 \approx 6, 6 \cdot 10^{- 31}$ m).

2 Von der Spannung zur Wellenlänge

Herleitung

Elektronenwellenlänge aus der Beschleunigungsspannung

Energiebilanz in der Elektronenkanone:

𝑒 𝑈 = \frac{1}{2} 𝑚_{𝑒} 𝑣^{2} \Rightarrow 𝑣 = \sqrt{\frac{2 𝑒 𝑈}{𝑚_{𝑒}}}

Impuls: $𝑝 = 𝑚_{𝑒} 𝑣 = \sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}$ .
de Broglie:

𝜆 = \frac{ℎ}{\sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}}

Zahlenwert einsetzen ( $ℎ$ , $𝑚_{𝑒}$ , $𝑒$ ):

𝜆 = \frac{1, 226 nm}{\sqrt{\frac{𝑈}{V}}}

Gültig für $𝑈$ bis etwa 10 kV; darüber wird der relativistische Impuls messbar größer.

Elektronenbeugungsröhre aus dem Schulmaterial. Quelle: Schulseite . — Abbildung 1: Elektronenbeugungsröhre aus dem Schulmaterial. Quelle: Schulseite.

Aus Ringradius und bekanntem Netzebenenabstand lässt sich umgekehrt $𝜆$ bestimmen; die beiden Ringe gehören zu verschiedenen Netzebenenscharen desselben Graphits.

$𝑈$	$𝜆$ (nicht relativistisch)	Kontrolle $1, 226 / \sqrt{\frac{𝑈}{V}}$
1 kV	38,8 pm	38,8 pm
4 kV	19,4 pm	19,4 pm
10 kV	12,3 pm	12,3 pm

3 Geometrie der Beugungsröhre

An den Netzebenen des Graphits wird gebeugt (Bragg). Der einfallende Strahl trifft unter dem Glanzwinkel $𝜃$ auf die Netzebene; der gebeugte Strahl läuft unter $2 𝜃$ zur Einfallsrichtung weiter. Auf dem Schirm im Abstand $𝑎$ liegt der Ringradius $𝑟$ , also gilt $tan (2 𝜃) = 𝑟 / 𝑎$ . Für kleine Winkel ist $tan (2 𝜃) \approx sin (2 𝜃) \approx 2 𝜃$ , damit $2 𝜃 \approx 𝑟 / 𝑎$ und

sin (𝜃) \approx 𝜃 \approx \frac{𝑟}{2 𝑎} und 2 𝑑 sin (𝜃) = 𝑛 𝜆

Setzt man $sin (𝜃)$ in die Bragg-Bedingung ein, folgt für das Maximum erster Ordnung ( $𝑛 = 1$ )

2 𝑑 \cdot \frac{𝑟}{2 𝑎} = 𝜆 \Rightarrow 𝑟 = \frac{𝑎 𝜆}{𝑑}

Mit $𝜆 = ℎ / \sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}$ wird daraus

𝑟^{2} = \frac{𝑎^{2} ℎ^{2}}{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑑^{2}} \cdot \frac{1}{𝑈}

Das ist die Abituraufgabe in Reinform: $𝑟^{2}$ über $1 / 𝑈$ auftragen ergibt eine Gerade, aus deren Steigung $𝑑$ folgt.

Achtung – typische Fehlerquelle

$𝑑$ ist der Netzebenenabstand des Graphits (etwa 0,21 nm), $𝑎$ der Abstand Graphit–Schirm. Beide sind Gerätegrößen, keine Messgrößen.

Reflexion am Kristall und Bragg-Bedingung aus dem Schulmaterial. Quelle: Schulseite . — Abbildung 2: Reflexion am Kristall und Bragg-Bedingung aus dem Schulmaterial. Quelle: Schulseite.

Bei festem Winkel wächst der Zusatzweg $2 𝑑 sin (𝜃)$ mit dem Netzebenenabstand; genau darauf beruht die Auswertung über die Steigung von $𝑟^{2}$ über $1 / 𝑈$ .

3.1 Optische Analogie und $𝜆$ - $𝑣$ -Zusammenhang

Die Ringe am Graphit sind das Analogon zum Beugungsbild von Licht an einem Transmissionsgitter: Die Netzebenen wirken wie die Gitterlinien, der Ringradius entspricht dem Beugungswinkel. Deshalb lassen sich die optischen Begriffe (Gangunterschied, Maximum, Wellenlänge) unverändert auf die Elektronen übertragen.

Aus $𝑒 𝑈 = \frac{1}{2} 𝑚_{𝑒} 𝑣^{2}$ folgt $𝑣 = \sqrt{2 𝑒 𝑈 / 𝑚_{𝑒}}$ und mit $𝜆 = ℎ / (𝑚_{𝑒} 𝑣)$ :

𝜆 = \frac{ℎ}{\sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}} \Rightarrow 𝜆 \sim \frac{1}{𝑣}

Setzt man das in $𝑟 = 𝑎 𝜆 / 𝑑$ ein, ergibt sich $𝑟^{2} \sim 1 / 𝑈$ . Die Messung bestätigt also sowohl $𝜆 \sim 1 / 𝑣$ als auch die Bragg-Beziehung.

4 Zwei Röhren, zwei Zwecke

Röhre	Zweck	Kennzeichen
Elektronenstrahlröhre	Ablenkung, „Fernsehröhre“, Feldmessungen	Ablenkplatten, Leuchtschirm; kein Beugungsbild
Elektronenbeugungsröhre	Nachweis der Materiewelle	Graphitfolie im Strahlweg, Ringe auf dem Schirm

Merksatz

Nur die Beugungsröhre zeigt Interferenz. Die Elektronenstrahlröhre zeigt, dass Elektronen Teilchen mit Ladung sind – sie sagt über die Wellennatur nichts aus.

5 Weitere Belege

Versuch	Aussage
Davisson-Germer (1927)	Elektronen an Nickelkristallen zeigen Maxima unter Winkeln, die zur Bragg-Bedingung passen
Einzelelektronen	Bei sehr kleiner Intensität treffen einzelne Elektronen punktuell ein; das Interferenzmuster baut sich mit der Zeit auf
Neutronen-, Atominterferenz	Die Beziehung $𝜆 = ℎ / 𝑝$ gilt für alle Teilchen

6 Experiment: Elektronenbeugung am Graphit

Experiment

Aufbau. Evakuierte Röhre, Glühkathode, Anode mit Lochblende, Graphitfolie, Leuchtschirm, regelbare Hochspannung.
Durchführung. $𝑈$ von 2 kV bis 6 kV erhöhen, Ringdurchmesser auf dem Schirm messen (Radius $𝑟$ ).
Beobachtung. Zwei konzentrische Ringe; beide werden mit steigender Spannung kleiner.
Erklärung. Höhere Spannung $\to$ größerer Impuls $\to$ kleinere Wellenlänge $\to$ kleinere Beugungswinkel.
Auswertung. $𝑟^{2}$ gegen $1 / 𝑈$ : Gerade mit Steigung $𝑎^{2} ℎ^{2} / (2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑑^{2})$ .
Bedeutung. Direkter Nachweis der Materiewelle; liefert $ℎ$ bzw. $𝑑$ .

Fehler und Sicherheit. Beschleunigungsspannung und Ringradius sind die Messgrößen; der geometrische Aufbau der Röhre wirkt systematisch. Hochspannung nur im geschlossenen Gerät, Röhre nicht öffnen.

7 Aufgaben

Aufgabe 1 AFB II10 P.

Elektronen werden mit 4,0 kV beschleunigt.

Berechnen Sie die Wellenlänge.
Berechnen Sie die Frequenz, die einem Photon gleicher Energie entspricht, und vergleichen Sie.

Lösung

(1) $𝜆 = \frac{1, 226 nm}{\sqrt{4000}} = 0, 0194$ nm $= 19, 4$ pm.

(2) $𝐸 = 𝑒 𝑈 = 4, 0$ keV, also $𝑓 = 𝐸 / ℎ = 9, 7 \cdot 10^{17}$ Hz und $𝜆_{Photon} = 𝑐 / 𝑓 = 0, 31$ nm. Das Elektron ist mit 19,4 pm etwa 16-mal kürzer. Der Unterschied folgt aus den verschiedenen Energie-Impuls-Beziehungen: $𝐸 = 𝑝^{2} / (2 𝑚_{𝑒})$ beim Elektron, $𝐸 = 𝑝 𝑐$ beim Photon.

Aufgabe 2 AFB II12 P.

In einer Beugungsröhre ( $𝑎 = 0, 135$ m) wird der innere Ring gemessen (Beispieldaten einer didaktischen Messreihe; die Quelle nennt keine Zahlen):

$𝑈$ in kV	3,0	4,0	5,0	6,0
$𝑟$ in mm	14,2	12,3	11,0	10,0

Zeigen Sie, dass $𝑟^{2} \sim 1 / 𝑈$ gilt.
Bestimmen Sie $𝑑$ .

Lösung

(1) $𝑟^{2}$ gegen $1 / 𝑈$ ergibt eine Gerade durch den Ursprung (Steigung $𝑀 = 0, 6086$ m²V). Das folgt aus der hergeleiteten Beziehung: $𝑟^{2} = \frac{𝑎^{2} ℎ^{2}}{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑑^{2}} \cdot 1 / 𝑈$ .

(2) $𝑑 = \frac{ℎ 𝑎}{\sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑀}} = 2, 1 \cdot 10^{- 10}$ m, also $𝑑 \approx 0, 21$ nm – der Literaturwert für Graphit.

Aufgabe 3 AFB III12 P.

Beurteilen Sie, ob die Elektronenbeugung den Welle-Teilchen-Dualismus „beweist“, und vergleichen Sie sie mit dem Photoeffekt.

Lösung

Die Beugung zeigt die Wellennatur: Elektronen erzeugen ein Interferenzmuster mit $𝜆 = ℎ / 𝑝$ . Der Photoeffekt zeigt die Teilchennatur des Lichts: Energie wird in Portionen $ℎ 𝑓$ übertragen. Beide Versuche widerlegen nicht die jeweils andere Seite, sondern zeigen, dass dieselbe Größe je nach Experiment als Welle oder als Teilchen beschrieben werden muss. „Beweis“ ist zu stark; die Experimente sind Belege für ein Modell, das beide Aspekte enthält.

8 Typische Fehler

Fehler	Richtig
$𝜆 = ℎ / (𝑚 𝑣)$ mit $𝑣$ aus $𝑈$ ohne Wurzel	$𝑣 = \sqrt{2 𝑒 𝑈 / 𝑚_{𝑒}}$
Beugungs- und Strahlröhre gleichgesetzt	nur die Beugungsröhre zeigt Ringe
Ringradius und Ringdurchmesser verwechselt	$𝑟$ ist der Radius; $2 𝑟$ der Durchmesser
$𝑟$ gegen $𝑈$ auftragen	$𝑟^{2}$ gegen $1 / 𝑈$ ergibt eine Gerade
relativistische Effekte ignorieren	über 10 kV korrigieren oder anmerken

9 Wiederholung

Kern	Formel
de Broglie	$𝜆 = ℎ / 𝑝$
Impuls aus Spannung	$𝑝 = \sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}$
Wellenlänge aus Spannung	$𝜆 = 1, 226 nm / \sqrt{𝑈 / V}$
Bragg	$2 𝑑 sin (𝜃) = 𝑛 𝜆$
Röhrengeometrie	$𝑟 = 𝑎 𝜆 / 𝑑$
Auswertung	$𝑟^{2}$ über $1 / 𝑈$ , Steigung $𝑎^{2} ℎ^{2} / (2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑑^{2})$

Verstehen, nicht auswendig: warum höhere Spannung kleinere Ringe ergibt; warum dasselbe Elektron punktförmig auftrifft und trotzdem interferiert; warum die Formel nur bis etwa 10 kV gilt.

Prüfungsrelevanz

Das musst du können:

erklären, warum ein Elektron eine Wellenlänge hat und wann Beugung beobachtbar wird;
herleiten: $𝜆 = ℎ / \sqrt{2 𝑚_{𝑒} 𝑒 𝑈}$ aus Energie- und Impulsbilanz;
berechnen: Wellenlänge aus $𝑈$ , Ringradius aus $𝜆$ und umgekehrt $𝑑$ aus $𝑟^{2}$ - $1 / 𝑈$ ;
begründen, warum höhere Spannung kleinere Ringe ergibt;
skizzieren: Bragg-Geometrie an zwei Netzebenen.

Quellen (Abruf 2026-11-02).

Elektronenwellen/Beugungsröhre: https://www.physik.gym-wst.de/docs/d13/13quantenobjekte/03elektronenwellen/docs.md
Kerncurriculum Physik Niedersachsen 2022: https://cuvo.nibis.de/
CODATA 2018 für $ℎ$ , $𝑚_{𝑒}$ , $𝑒$ .
Abbildungen: Unterrichtsmaterialien der Schulwebsite (05_Grafiken/schule/).

1 Die Hypothese

2 Von der Spannung zur Wellenlänge

3 Geometrie der Beugungsröhre

3.1 Optische Analogie und 𝜆-𝑣-Zusammenhang

4 Zwei Röhren, zwei Zwecke

5 Weitere Belege

6 Experiment: Elektronenbeugung am Graphit

7 Aufgaben

8 Typische Fehler

9 Wiederholung

3.1 Optische Analogie und $𝜆$ - $𝑣$ -Zusammenhang